DynamischeSysteme

Abschnitt 3

Das Schaefer'sche Modell

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Bereits bekannte Modelle lassen sich natürlich beliebig erweitern. Ein Beispiel dafür ist das Schaefer'sche Modell. Es beschreibt die Entwicklung einer logistisch wachsenden Population (siehe Abschnitt 2), die unter Bejagung steht. Dabei wird davon ausgegangen, dass in jedem Zeitschritt ein fester relativer Anteil a der Population durch die Jagd getötet wird.

xn = xn−1 + r · xn−1 · (S − xn−1) − a · xn−1

Übungen

Realisieren Sie das Schaefer'sche Modell auf dem Computer, indem Sie die Werte

x₀=10, r=0.007, a=0.2 und S=100

verwenden und eine graphische Darstellung der Wachstumskurve für 30 Zeitschritte erzeugen.

Welche Fixpunkte hat das Schaefer'sche Modell

xn = xn−1 + r · xn−1 · (S − xn−1) − a · xn−1

  1. wenn wir die Zahlenwerte x₀=10, r=0.007, a=0.2 und S=100 verwenden?
  2. im Allgemeinen, d.h. ohne konkrete Zahlenwerte für x₀, r, a und S?
  3. Welche Bedingungen müssen die Werte von S, r und a im Schaefer'schen Modell erfüllen, damit der nicht triviale Fixpunkt einen biologisch relevanten Wert annimmt?

Es wird geschätzt, dass in einem gewissen Gebiet die Kapazität für Rehe mit S=200 beschränkt ist und dass r=0.001 für das entsprechende Schaefer'sche Modell gilt.

  1. Was passiert mit der Rehpopulation auf lange Sicht, wenn in jedem Zeitschritt 15% der Rehe erlegt werden?
  2. Wie hoch dürfte a maximal gewählt werden, um der Population ein dauerhaftes Überleben zu ermöglichen?
  3. Betrachten Sie für a=0.16, a=0.13 und a=0.08 den Jagdertrag. Für welchen Wert von a ist der Jagdertrag maximal?
  4. Wir starten mit x₀=30 Rehen und einer Bejagung mit a=0.1. Nach wie vielen Zeitschritten ist die Wachstumsgeschwindigkeit der Population am grössten?

Hinweis: Diese Aufgabe verlangt keinen fertigen Code im Skript, lässt sich aber gut mit der Werkbank aus Übung 2.10 erkunden — einfach S, r und a anpassen.

Wir gehen nochmals vom allgemeinen Schaefer'schen Modell

xn = xn−1 + r · xn−1 · (S − xn−1) − a · xn−1

und nicht von konkreten Zahlenwerten aus.

Eine Jagdbehörde muss die Jagdquote a festlegen. Dabei soll der stabile Jagdertrag im Fixpunkt möglichst gross sein. Was ist unter diesen Bedingungen die optimale Wahl für a?